近年来,数学迅速向自然科学和社会科学的各个领域渗透。在工程技术、经济建设、金融管理、计算机等各个方面发挥着越来越重要的作用,成为当代高新技术的一个重要组成部分。那么,以运气为主的抽奖、彩票领域,数学是否也能发挥作用呢?
每年、每个节日、每个促销活动,总是会有各种各样的抽奖活动。在我们的印象中,带有抽奖成分的活动(比如彩票、抽奖等)一般是运气占很大成分,但事实上这些运气活动中有部分也是可以用数据模型来解释的。
举个例子,在数学建模应用上有个经典的抽奖策略问题
某人可获得一笔奖金 X , X由他在区间[0,1]中任意地抽取。如果他满意,可以领取 X 奖金而不再抽取;如果他不满意,可以放弃这个 X 而重新抽取。这个抽取过程可重复3次,第三次抽取后不可放弃。问他应该采取何种策略以期获得最多奖金?
我们应该怎么解决呢?注意:这里并不是抽三次取最大的一次,而是必须放弃前面的抽奖而接受当前次的抽奖结果。可能存在:第一次抽的最好,放弃之后继续抽还不如第一次效果好的情况。
除此之外,还有个更令人吃惊的故事,发生在彩票领域。
有个麻省理工学院的学生发现了美国某个彩票品种的漏洞,然后用数学模型在七年赚到了 300 万美元(注意这只是个例,现在的彩票机制基本完善)。
抛开漏洞,我们来看看这位同学是怎么做的以及其中的数学原理。首先我们要了解彩票最重要的数学概念,叫做 "期望值",即同一种行为多次重复以后,所能得到的平均收益。
美国马萨诸塞州有一个彩票品种,叫做 WinFall。它的规则很简单:1 到 48 里面,你猜 6 个数字,猜中就有奖。
四等奖(6 个猜中 2 个):奖金 2 元
三等奖(6 个猜中 3 个):奖金 5 元
二等奖(6 个猜中 4 个):奖金 150 元
一等奖(6 个猜中 5 个):奖金 4000 元
特等奖(6 个猜中 6 个):奖金池剩余的全部奖金
有一期,一共卖出了 930 万张彩票,其中特等奖一个,奖金 100 万美元,一等奖 238 个,二等奖 11625 个,三等奖 19.8 万个,四等奖 136.8 万个。计算可知,这种彩票的期望值是 0.798 元。每张彩票的价格是 2 元,可是平均收益只有 0.798 元,可见这种彩票是非常不划算的,因此购买这种彩票的民众不断减少。
于是政府决定修改这种彩票规则。新的规则是如果当期没有特等奖,那么奖金分配给一二三等奖得主,中奖金额如下。
一等奖(6 中 5):50000 元
二等奖(6 中 4):2385 元
三等奖(6 中 3):60 元
还是使用前面的中奖率,计算期望值=5.53。购买这种彩票就变得非常划算,大量购买的话, 可以得到 2.5 倍的收益(之所以期望值大于彩票的成本,是因为奖金池还包含前期剩余的奖金)。
麻省理工学院的这位学生,发现了这一点。他凑了 5000 元购买彩票,结果中了将近 15000 元!
对于学生而言,数学建模竞赛就是很好的锻炼、运用数学建模能力的武器。它的题目是从实际问题中提炼出来的,解决这些问题,往往没有现成的方法可以套用,需要将问题数学化,即建立数学模型,然后通过参赛学生所掌握的数学知识求解数学建模,并对其结果给出解释。
它不仅要求每个学生要充分发挥主观能动性和创造力,还要求同学们能密切配合,协同作战,取长补短,这些过程是在课堂的学习中是很难做到的。
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